Cálculo Ejemplos

$y = \frac{7}{x^{5}} - \frac{2}{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{5}} - \frac{2}{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{7}{x^{5}} - \frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{5}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$7 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$7 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$7 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$7 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$7 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$7 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$- 35 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 35 x^{- 6} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- 35 x^{- 6} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 35 x^{- 6} - 2 (- x^{- 2})$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 35 x^{- 6} + 2 x^{- 2}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 35 \frac{1}{x^{6}} + 2 x^{- 2}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 35 \frac{1}{x^{6}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $- 35$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 35}{x^{6}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{35}{x^{6}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{35}{x^{6}} + \frac{2}{x^{2}}$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{35}{x^{6}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2}{x^{2}} - \frac{35}{x^{6}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}} - \frac{35}{x^{6}}$