Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π) + \frac{1}{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π) + \frac{1}{2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π) + \frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (π x - π)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (π x - π)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x - π$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x - π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - π]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - π]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x - π$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) \frac{d}{d x} [π x - π]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $π x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.4

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.6

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.7

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π + 0)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.8

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) π) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.9

Combina $\cos (π x - π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (π x - π)}{2} π + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.2.10

Combina $\frac{\cos (π x - π)}{2}$ y $π$ .

$\frac{\cos (π x - π) π}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Paso 3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\cos (π x - π) π}{2} + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Suma $\frac{\cos (π x - π) π}{2}$ y $0$ .

$\frac{\cos (π x - π) π}{2}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$\frac{π \cos (π x - π)}{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{π \cos (π x - π)}{2}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{π \cos (π x - π)}{2}$