Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{x^{7}}{7}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7} \ln (x)}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.2

Como $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{7} \ln (x)}{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.6

Combina $x^{7}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $x$ de $x^{7}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.7.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.7.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.7.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.2.7.2.5

Divide $x^{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{1}{49}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{7}}{49}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} (7 x^{6})$

Paso 3.3.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - 7 (\frac{1}{49}) x^{6}$

Paso 3.3.4

Combina $- 7$ y $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7}{49} x^{6}$

Paso 3.3.5

Combina $\frac{- 7}{49}$ y $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7 x^{6}}{49}$

Paso 3.3.6

Cancela el factor común de $- 7$ y $49$ .

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Paso 3.3.6.1

Factoriza $7$ de $- 7 x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{49}$

Paso 3.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.6.2.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 (7)}$

Paso 3.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 \cdot 7}$

Paso 3.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- x^{6}}{7}$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{1}{7} (\ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{\ln (x)}{7} (7 x^{6}) - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.2

Combina $7$ y $\frac{\ln (x)}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x)}{7} x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.3

Combina $\frac{7 \ln (x)}{7}$ y $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.4.2

Divide $\ln (x) x^{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \ln (x) x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.5

Para escribir $\frac{1}{7} x^{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{1}{7} x^{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.6

Combina $\frac{1}{7} x^{6}$ y $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.8

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6}}{7} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.9

Combina $\frac{x^{6}}{7}$ y $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6} \cdot 7}{7} - x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.10

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 \cdot x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.11

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.2.11.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.11.2

Divide $x^{6}$ por $1$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{x^{6} - x^{6}}{7}$

Paso 3.4.2.12

Resta $x^{6}$ de $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{7}$

Paso 3.4.2.13

Cancela el factor común de $0$ y $7$ .

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Paso 3.4.2.13.1

Factoriza $7$ de $0$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 (0)}{7}$

Paso 3.4.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.13.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{1}$

Paso 3.4.2.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\ln (x) x^{6} + 0$

Paso 3.4.2.14

Suma $\ln (x) x^{6}$ y $0$ .

$\ln (x) x^{6}$

Paso 3.4.3

Reordena los factores de $\ln (x) x^{6}$ .

$x^{6} \ln (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x^{6} \ln (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} \ln (x)$