Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 2] - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.13

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.14

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Expande $(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Reordena los factores en los términos $- 2 x \cdot 2$ y $2 (2 x)$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Suma $- 2 \cdot 2 x$ y $2 \cdot 2 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 0 + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Suma $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x)$ y $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.4

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.6

Expande $(- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.7.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.8

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.7.10

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.8

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.9

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 + 0 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 2 x^{2} + 4$ y $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x + 0}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2.4

Suma $- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x$ y $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.3

Resta $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (- x) + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $4 x$ de $8 x$ .

$\frac{4 x (- x) + 4 x (2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x) + 4 x (2)$ .

$\frac{4 x (- x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 x (- (x) + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 x (- (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{4 x (- 1 (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$