Cálculo Ejemplos

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x - \ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \ln (x)$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Paso 3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Paso 3.4.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Paso 3.4.3

Multiplica $7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

Paso 3.4.3.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $- 7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

Paso 3.4.3.3

Combina $\frac{- 7}{x}$ y ${(x - \ln (x))}^{6}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Paso 3.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Paso 3.4.5

Para escribir $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Paso 3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Paso 3.4.7

Factoriza $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.7.1

Factoriza $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Paso 3.4.7.2

Factoriza $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

Paso 3.4.7.3

Factoriza $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$