Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 4.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.10

Combina fracciones.

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Paso 4.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.10.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.10.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Paso 4.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 4.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Paso 4.14

Combina fracciones.

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Paso 4.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 4.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.14.3

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.14.4

Combina $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.17

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.18

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.19.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.19.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.21

Combina $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ y $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mediante un denominador común.

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Paso 4.21.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.21.2

Para escribir $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.21.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.22

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.22.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.22.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.22.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.23

Simplifica $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 4.24

Reescribe $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ como un producto.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 4.25

Multiplica $\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Paso 4.26

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 4.26.1

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 4.26.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 4.26.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 4.26.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 4.26.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 4.26.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27

Simplifica.

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Paso 4.27.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.27.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.27.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.27.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.27.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.2.2

Resta $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.3

Factoriza $x$ de $x^{3} + 2 x$ .

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Paso 4.27.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.3.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.27.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$