Cálculo Ejemplos

$y = \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x + 5)}^{3}$ y $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{({(x - 3)}^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x - 3)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.4.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.6

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.6.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.6.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.6.5.2

Multiplica ${(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1.1

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.1.2

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $- 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.1.3

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 1 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (0 - 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.5

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.6

Resta $5$ de $- 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.1.7

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ y ${(x - 3)}^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1.1

Factoriza ${(x - 3)}^{2}$ de $- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 3.7.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1.2.1

Factoriza ${(x - 3)}^{2}$ de ${(x - 3)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.7.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.7.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$