Cálculo Ejemplos

$x {(y + 2)}^{5} = 9$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x {(y + 2)}^{5}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 5 y^{4} \cdot 2 + 10 y^{3} \cdot 2^{2} + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 10 y^{3} \cdot 2^{2} + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Paso 2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 10 y^{3} \cdot 4 + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $10$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Paso 2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 10 y^{2} \cdot 8 + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Paso 2.2.5

Multiplica $8$ por $10$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Paso 2.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y \cdot 16 + 2^{5})]$

Paso 2.2.7

Multiplica $16$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 2^{5})]$

Paso 2.2.8

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32] + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 y^{4}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.9

Multiplica $4$ por $10$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.11

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 y^{3}$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.12.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.12.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.12.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.13

Multiplica $3$ por $40$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.15

Como $80$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $80 y^{2}$ con respecto a $x$ es $80 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.16

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.16.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.16.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ es $n {u_{4}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 (2 u_{4} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.17

Multiplica $2$ por $80$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.18

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.19

Como $80$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $80 y$ con respecto a $x$ es $80 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.20

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y' + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.21

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y' + 0) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.22

Suma $5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y'$ y $0$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y') + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.23

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y') + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \cdot 1$

Paso 2.24

Multiplica $y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$ por $1$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25

Simplifica.

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Paso 2.25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (5 y^{4} y') + x (40 y^{3} y') + x (120 y^{2} y') + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25.2

Combina los términos.

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Paso 2.25.2.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$5 \cdot x y^{4} y' + x (40 y^{3} y') + x (120 y^{2} y') + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25.2.2

Mueve $40$ a la izquierda de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 \cdot x y^{3} y' + x (120 y^{2} y') + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25.2.3

Mueve $120$ a la izquierda de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 x y^{3} y' + 120 \cdot x y^{2} y' + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25.2.4

Mueve $160$ a la izquierda de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 x y^{3} y' + 120 x y^{2} y' + 160 \cdot x y y' + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25.2.5

Mueve $80$ a la izquierda de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 x y^{3} y' + 120 x y^{2} y' + 160 x y y' + 80 x y' + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Paso 2.25.3

Reordena los términos.

$y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32$

Paso 3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5}$

Paso 5.1.2

Resta $10 y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5} - 10 y^{4}$

Paso 5.1.3

Resta $40 y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3}$

Paso 5.1.4

Resta $80 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2}$

Paso 5.1.5

Resta $80 y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 32 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y$

Paso 5.1.6

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2

Factoriza $5 x y'$ de $5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $5 x y'$ de $5 y^{4} x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.2

Factoriza $5 x y'$ de $40 y^{3} x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.3

Factoriza $5 x y'$ de $120 y^{2} x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.4

Factoriza $5 x y'$ de $160 x y y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.5

Factoriza $5 x y'$ de $80 x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.6

Factoriza $5 x y'$ de $5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3})$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.7

Factoriza $5 x y'$ de $5 x y' (y^{4} + 8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2})$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.8

Factoriza $5 x y'$ de $5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2}) + 5 x y' (32 y)$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2} + 32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.2.9

Factoriza $5 x y'$ de $5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2} + 32 y) + 5 x y' \cdot 16$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2} + 32 y + 16) = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.3

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$5 x y' (y^{4} + 4 \cdot (2 y^{3}) + 6 \cdot (2^{2} y^{2}) + 4 \cdot (2^{3} y) + 2^{4}) = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.4

Factoriza $y^{4} + 4 \cdot 2 y^{3} + 6 \cdot 2^{2} y^{2} + 4 \cdot 2^{3} y + 2^{4}$ mediante el teorema del binomio.

$5 x y' {(y + 2)}^{4} = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Paso 5.5

Divide cada término en $5 x y' {(y + 2)}^{4} = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$ por $5 x {(y + 2)}^{4}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $5 x y' {(y + 2)}^{4} = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$ por $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 x y' {(y + 2)}^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y' {(y + 2)}^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' {(y + 2)}^{4}}{{(y + 2)}^{4}} = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de ${(y + 2)}^{4}$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $5$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 10 y^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 2 y^{4})}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.2.1

Factoriza $5$ de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 2 y^{4})}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.5.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.4

Cancela el factor común de $- 40$ y $5$ .

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Paso 5.5.3.1.4.1

Factoriza $5$ de $- 40 y^{3}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 8 y^{3})}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.4.2.1

Factoriza $5$ de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 8 y^{3})}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.5.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.6

Cancela el factor común de $- 80$ y $5$ .

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Paso 5.5.3.1.6.1

Factoriza $5$ de $- 80 y^{2}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y^{2})}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.6.2.1

Factoriza $5$ de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y^{2})}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.6.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.5.3.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.8

Cancela el factor común de $- 80$ y $5$ .

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Paso 5.5.3.1.8.1

Factoriza $5$ de $- 80 y$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y)}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.8.2.1

Factoriza $5$ de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y)}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.8.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.5.3.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 16 y}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 5.5.3.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$