Cálculo Ejemplos

$\ln (x) y + 5 x = 30$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) y + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) y + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\ln (x) y' + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.4

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$

Paso 3

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$ .

$y' \ln (x) + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \ln (x) + 5 = - \frac{y}{x}$

Paso 5.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ por $\ln (x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ por $\ln (x)$ .

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{\ln (x)}$ por $\frac{y}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$

Paso 5.3.3.2

Reordena los factores en $- \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$ .

$y' = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$