Cálculo Ejemplos

$\ln (x y) = e^{2 x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.6.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.2

Combina $\frac{x}{x y}$ y $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.4

Combina $\frac{1}{x y}$ y $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Paso 2.6.2.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.6.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Paso 2.6.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Paso 3.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 2 e^{2 x}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{y} = 2 e^{2 x} - \frac{1}{x}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $(2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{1}{x} y$

Paso 5.3.2.1.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$

Paso 5.3.2.1.3

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$ .

$y' = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$