Cálculo Ejemplos

$7 \cos (7 x) \sin (5 y) = 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (7 \cos (7 x) \sin (5 y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \cos (7 x) \sin (5 y)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\cos (7 x) \sin (5 y)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos (7 x) \sin (5 y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (7 x)$ y $g (x) = \sin (5 y)$ .

$7 (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 y)] + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 y$ .

$7 (\cos (7 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$7 (\cos (7 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 y$ .

$7 (\cos (7 x) (\cos (5 y) \frac{d}{d x} [5 y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Paso 2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 \frac{d}{d x} [y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]))$

Paso 2.6.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]))$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]))$

Paso 2.7

Diferencia.

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Paso 2.7.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 2.7.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- 7 \sin (7 x) \cdot 1))$

Paso 2.7.4

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y')) + 7 (\sin (5 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Paso 2.8.2

Combina los términos.

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Paso 2.8.2.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$35 (\cos (7 x) \cos (5 y) (y')) + 7 (\sin (5 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $- 7$ por $7$ .

$35 \cos (7 x) \cos (5 y) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$

Paso 2.8.3

Reordena los términos.

$35 \cos (5 y) \cos (7 x) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$35 \cos (5 y) \cos (7 x) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $35 \cos (5 y) \cos (7 x) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ .

$35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) - 49 \sin (5 y) \sin (7 x) = 0$

Paso 5.2

Suma $49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ a ambos lados de la ecuación.

$35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) = 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$

Paso 5.3

Divide cada término en $35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) = 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ por $35 \cos (5 y) \cos (7 x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) = 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ por $35 \cos (5 y) \cos (7 x)$ .

$\frac{35 y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $35$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{35 y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{\cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (5 y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{\cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cos (7 x)}{\cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\cos (7 x)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cos (7 x)}{\cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $49$ y $35$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $7$ de $49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ .

$y' = \frac{7 (7 \sin (5 y) \sin (7 x))}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $7$ de $35 \cos (5 y) \cos (7 x)$ .

$y' = \frac{7 (7 \sin (5 y) \sin (7 x))}{7 (5 \cos (5 y) \cos (7 x))}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{7 (7 \sin (5 y) \sin (7 x))}{7 (5 \cos (5 y) \cos (7 x))}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{7 \sin (5 y) \sin (7 x)}{5 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Paso 5.3.3.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{7 \sin (7 x)}{5 \cos (7 x)} \cdot \frac{\sin (5 y)}{\cos (5 y)}$

Paso 5.3.3.3

Convierte de $\frac{\sin (5 y)}{\cos (5 y)}$ a $\tan (5 y)$ .

$y' = \frac{7 \sin (7 x)}{5 \cos (7 x)} \tan (5 y)$

Paso 5.3.3.4

Separa las fracciones.

$y' = \frac{7}{5} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \tan (5 y)$

Paso 5.3.3.5

Convierte de $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ a $\tan (7 x)$ .

$y' = \frac{7}{5} \tan (7 x) \tan (5 y)$

Paso 5.3.3.6

Combina $\frac{7}{5}$ y $\tan (7 x)$ .

$y' = \frac{7 \tan (7 x)}{5} \tan (5 y)$

Paso 5.3.3.7

Combina $\frac{7 \tan (7 x)}{5}$ y $\tan (5 y)$ .

$y' = \frac{7 \tan (7 x) \tan (5 y)}{5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 \tan (7 x) \tan (5 y)}{5}$