Cálculo Ejemplos

$x \sin (y) + \cos (2 y) = \cos (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + \cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (\cos (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \sin (y) + \cos (2 y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.2.5

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 y$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 y$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) (2 y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - 2 \sin (2 y) y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y) = - \sin (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) = - \sin (y) y'$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $- \sin (y) y'$ .

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) = - y' \sin (y)$

Paso 5.3

Suma $y' \sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) + y' \sin (y) = 0$

Paso 5.4

Resta $\sin (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + y' \sin (y) = - \sin (y)$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + y' \sin (y)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) - 2 y' \sin (2 y) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y' \sin (2 y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' \sin (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Paso 5.5.4

Factoriza $y'$ de $y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y))$ .

$y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Paso 5.5.5

Factoriza $y'$ de $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y))$ .

$y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$ por $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$ por $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y))}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)} = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y))}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)} = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$