Cálculo Ejemplos

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - y^{2}}$ como ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - y^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.6

Diferencia.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.6.2.2

Mueve ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Paso 4.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 4.6.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 4.6.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 4.6.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.8

Simplifica los términos.

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Paso 4.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.8.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.8.3

Combina $y$ y $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.8.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.8.5

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.11

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

Paso 4.12

Combina $y'$ y $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13

Reordena los factores en $y' y$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Divide $\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados por ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común de ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.5

Divide cada término en $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $y$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$