Cálculo Ejemplos

$x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.6

Diferencia.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.6.2.2

Mueve ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 4.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.8

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.2

Multiplica $2 x + 2 y y'$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.4

Factoriza $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.5

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.9.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + y y' = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Reordena $y$ y $y'$ .

$x + y' y = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reordena $x$ y $y' y$ .

$y' y + x = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y' y + x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Resuelve $y'$

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Paso 6.4.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ por $y$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ por $y$ .

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$