Cálculo Ejemplos

$x = \ln (1 - 7 y^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\ln (1 - 7 y^{2}))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - 7 y^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 7 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$

Paso 3.2.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.2.5

Combina fracciones.

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Paso 3.2.5.1

Combina $- 7$ y $\frac{1}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Combina fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{7}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.4

Combina $y$ y $\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{y \cdot - 14}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.5.1

Mueve $- 14$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{- 14 \cdot y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.4.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} y'$

Paso 3.6

Combina $y'$ y $\frac{14 y}{1 - 7 y^{2}}$ .

$- \frac{y' (14 y)}{1 - 7 y^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{14 y' y}{1 - 7 y^{2}}$

Paso 3.7.2

Reordena los factores en $14 y' y$ .

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ .

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = - 1$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $1 - 7 y^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$14 y y' = - (1 - 7 y^{2})$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $- (1 - 7 y^{2})$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 y y' = - 1 \cdot 1 - (- 7 y^{2})$

Paso 5.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$14 y y' = - 1 - (- 7 y^{2})$

Paso 5.4.2.1.2.2

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$14 y y' = - 1 + 7 y^{2}$

Paso 5.4.2.1.2.3

Reordena $- 1$ y $7 y^{2}$ .

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$

Paso 5.5

Divide cada término en $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ por $14 y$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ por $14 y$ .

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $7$ y $14$ .

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Paso 5.5.3.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 y^{2}$ .

$y' = \frac{7 (y^{2})}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $7$ de $14 y$ .

$y' = \frac{7 (y^{2})}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{7 y^{2}}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{14 y}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$