Cálculo Ejemplos

$x = \csc (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\csc (y))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\csc (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- \csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc (y) \cot (y) y'$

Paso 3.3

Reordena los factores de $- \csc (y) \cot (y) y'$ .

$- \cot (y) \csc (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \cot (y) \csc (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ .

$- \cot (y) \csc (y) y' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ por $- \cot (y) \csc (y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ por $- \cot (y) \csc (y)$ .

$\frac{- \cot (y) \csc (y) y'}{- \cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cot (y) \csc (y) y'}{\cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $\cot (y)$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cot (y) \csc (y) y'}{\cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\csc (y) y'}{\csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $\csc (y)$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\csc (y) y'}{\csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{\cot (y) \csc (y)}$

Paso 5.2.3.2

Separa las fracciones.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{1}{\cot (y)})$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $\cot (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})$

Paso 5.2.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$

Paso 5.2.3.5

Convierte de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \tan (y))$

Paso 5.2.3.6

Reescribe $\csc (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = - (\frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} \tan (y))$

Paso 5.2.3.7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$y' = - (1 \sin (y) \tan (y))$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$y' = - \sin (y) \tan (y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin (y) \tan (y)$