Cálculo Ejemplos

$x = \sec (2 y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (2 y))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) (2 y')$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\sec (2 y) \tan (2 y) (2 y')$ .

$2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ .

$2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ por $2 \sec (2 y) \tan (2 y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ por $2 \sec (2 y) \tan (2 y)$ .

$\frac{2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec (2 y) \tan (2 y) y'}{\sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $\sec (2 y)$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (2 y) \tan (2 y) y'}{\sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\tan (2 y) y'}{\tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $\tan (2 y)$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\tan (2 y) y'}{\tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cdot \frac{1}{\sec (2 y)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $\sec (2 y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (2 y)}}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (2 y)}$ .

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} (1 \cos (2 y))$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $\cos (2 y)$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cos (2 y)$

Paso 5.2.3.5

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan (2 y)} \cos (2 y)$

Paso 5.2.3.6

Reescribe $\tan (2 y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (2 y)}{\cos (2 y)}} \cos (2 y)$

Paso 5.2.3.7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (2 y)}{\cos (2 y)}$ .

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 y)} \cos (2 y)$

Paso 5.2.3.8

Convierte de $\frac{\cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ a $\cot (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{2} \cot (2 y) \cos (2 y)$

Paso 5.2.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cot (2 y)$ .

$y' = \frac{\cot (2 y)}{2} \cos (2 y)$

Paso 5.2.3.10

Combina $\frac{\cot (2 y)}{2}$ y $\cos (2 y)$ .

$y' = \frac{\cot (2 y) \cos (2 y)}{2}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (2 y) \cos (2 y)}{2}$