Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{2} \ln (x))}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} \ln (x))}^{4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} \ln (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} \ln (x)$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la regla del producto a $x^{2} \ln (x)$ .

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (x + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3

Combina los términos.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$4 (x^{6} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.4

Suma $1$ y $6$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{6} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.5.3.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{6} \ln^{3} (x) (\ln (x) (x))$

Paso 3.5.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) \ln (x)$

Paso 3.5.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) \ln (x)$

Paso 3.5.3.9

Suma $1$ y $6$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{3} (x) \ln (x)$

Paso 3.5.3.10

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} (\ln^{1} (x) \ln^{3} (x))$

Paso 3.5.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} {\ln (x)}^{1 + 3}$

Paso 3.5.3.12

Suma $1$ y $3$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$