Cálculo Ejemplos

$y = (4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x^{2} - e^{2 x}$ y $g (x) = \sin (3 x)$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \cdot 1) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)$ .

$3 \cdot ((4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Paso 3.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Paso 3.3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Paso 3.3.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Paso 3.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

Paso 3.5.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 (4 x^{2}) + 3 (- e^{2 x})) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Paso 3.6.4

Combina los términos.

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Paso 3.6.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Paso 3.6.4.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Paso 3.6.5

Reordena los términos.

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$