Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x + 1}{5 x - 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{5 x - 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = 5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(5 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $5 x - 1$ por $1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 + 0)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.10.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) \cdot 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.10.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 1 - 5 (x + 1)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Combina los términos opuestos en $5 x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{0 - 1 - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.3

Resta $5$ de $- 1$ .

$\frac{- 6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$