Cálculo Ejemplos

$y = x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Combina $x^{5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{5}}{5})] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - \frac{x^{5}}{5}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{8} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Combina $\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}}$ y $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.4

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} (5 x^{4})) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.6.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5}{5} x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.3

Combina $\frac{- 5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5 x^{4}}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.4

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 3.4.6.4.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.6.4.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- x^{4}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.6.4.2.4

Divide $- x^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) (8 x^{7})$

Paso 3.4.8

Reordena los términos.

$(1 - x^{4}) \frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$