Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{3}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{3}] + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{5} - 7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{5}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 (x^{3} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.7

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 3.3.9

Mueve $3$ a la izquierda de $4 x^{5} - 7 x^{3}$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + (3 (4 x^{5}) + 3 (- 7 x^{3})) x^{2})$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5}) x^{2} + 3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4})) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5

Combina los términos.

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Paso 3.4.5.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.1.1

Mueve $x^{4}$ .

$5 (x^{4} x^{3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (x^{4 + 3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.1.3

Suma $4$ y $3$ .

$5 (x^{7} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.2

Mueve $20$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$5 (20 \cdot x^{7}) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.3

Multiplica $20$ por $5$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{2} x^{3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$100 x^{7} + 5 (x^{2 + 3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.4.3

Suma $2$ y $3$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{5} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.5

Mueve $- 21$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$100 x^{7} + 5 (- 21 \cdot x^{5}) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.6

Multiplica $- 21$ por $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{5} x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.8

Multiplica $x^{5}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.8.1

Mueve $x^{2}$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 (x^{2} x^{5})) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{2 + 5}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.8.3

Suma $2$ y $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{7}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.9

Multiplica $12$ por $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Paso 3.4.5.10

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{3} x^{2})$

Paso 3.4.5.11

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.11.1

Mueve $x^{2}$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 (x^{2} x^{3}))$

Paso 3.4.5.11.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{2 + 3})$

Paso 3.4.5.11.3

Suma $2$ y $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{5})$

Paso 3.4.5.12

Multiplica $- 21$ por $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} - 105 x^{5}$

Paso 3.4.5.13

Suma $100 x^{7}$ y $60 x^{7}$ .

$160 x^{7} - 105 x^{5} - 105 x^{5}$

Paso 3.4.5.14

Resta $105 x^{5}$ de $- 105 x^{5}$ .

$160 x^{7} - 210 x^{5}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 160 x^{7} - 210 x^{5}$