Cálculo Ejemplos

$y = 4 \arcsin (2 x^{3})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \arcsin (2 x^{3}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \arcsin (2 x^{3})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 (x^{3})$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{6})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.2

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ y $4$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.4

Combina fracciones.

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Paso 3.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (3 x^{2})$

Paso 3.3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.3.6.1

Combina $3$ y $\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Paso 3.3.6.3

Combina $\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$