Cálculo Ejemplos

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos^{- 4} (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2.5

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 3.3.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 3.3.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 3.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

Paso 3.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 3.3.8

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Paso 3.3.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Paso 3.3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Paso 3.3.11

Suma $1$ y $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 3.4.2

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 3.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 3.4.3.2

Combina $20$ y $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 3.4.3.3

Multiplica por $1$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 3.4.3.4

Separa las fracciones.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 3.4.3.5

Convierte de $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ a $\sec^{5} (x)$ .

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 3.4.3.6

Divide $20$ por $1$ .

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$