Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.6

Multiplica.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.4.1

Combina los términos opuestos en $\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.8.4.1.1

Resta $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 0 - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.1.2

Suma $\sin (x) \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.2.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.8.4.2.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.2

Multiplica $- - \cos (x)$ .

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Paso 3.8.4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.2.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.3

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.8.4.2.3.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.3.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.4.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.8.5

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \csc^{2} (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$