Cálculo Ejemplos

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (\sin (x))$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (\sin (x))$ .

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

Paso 3.4.2

Reescribe $\sec (\sin (x))$ en términos de senos y cosenos.

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Paso 3.4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Paso 3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Paso 3.4.5

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Paso 3.4.6

Combina $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Paso 3.4.7

Reescribe $\tan (\sin (x))$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Paso 3.4.8

Combinar.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Paso 3.4.9

Multiplica $\cos^{2} (\sin (x))$ por $\cos (\sin (x))$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.9.1

Multiplica $\cos^{2} (\sin (x))$ por $\cos (\sin (x))$ .

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Paso 3.4.9.1.1

Eleva $\cos (\sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Paso 3.4.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

Paso 3.4.9.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

Paso 3.4.10

Factoriza $\cos (\sin (x))$ de $\cos^{3} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

Paso 3.4.11

Separa las fracciones.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Paso 3.4.12

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ como un producto.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Paso 3.4.13

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Paso 3.4.14

Simplifica.

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Paso 3.4.14.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Paso 3.4.14.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ a $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.15

Factoriza $\cos (\sin (x))$ de $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.16

Separa las fracciones.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.17

Convierte de $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ a $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.18

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.19

Convierte de $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ a $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.20

Divide $2$ por $1$ .

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.4.21

Multiplica $2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ .

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Paso 3.4.21.1

Eleva $\sec (\sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 3.4.21.2

Eleva $\sec (\sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 3.4.21.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 3.4.21.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$