Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.2.1.1

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2.1.2

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.10.2.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2.2

Reorganiza los términos.

$\frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.2.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (x) + 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.3

Cancela el factor común de $\cos (x) + 1$ y ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Paso 3.10.3.1

Reordena los términos.

$\frac{1 + \cos (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.3.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.10.3.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.3.3.1

Factoriza $1 + \cos (x)$ de ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 3.10.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 3.10.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + \cos (x)}$