Cálculo Ejemplos

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

Paso 1

Multiplica $- 1$ por $\frac{5}{x}$ .

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 - \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - \frac{5}{x}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Paso 4.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Paso 4.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Paso 4.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 4.2.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 4.2.5

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 4.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

Paso 4.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 4.3.2

Combina los términos.

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Paso 4.3.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Combina $e^{7 - \frac{5}{x}}$ y $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{7 - \frac{5}{x}}$ .

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$