Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (4 x)}{9 x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (4 x)}{9 x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (4 x)}{9 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (4 x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Combina $\frac{1}{4 x}$ y $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.4.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $\frac{d}{d x} [x]$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.4.7

Combina fracciones.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$

Paso 3.4.7.2

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$