Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{e^{x} + 20}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e^{x} + 20}$ como ${(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = e^{x} + 20$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} + 20$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + 20$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.6.2.2

Mueve ${(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Paso 4.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.8.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Paso 4.8.2

Combina fracciones.

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Paso 4.8.2.1

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Paso 4.8.2.2

Combina $\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$