Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$ como ${(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 5$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8

Diferencia.

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Paso 4.8.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.8.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.8

Combina fracciones.

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Paso 4.8.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.8.8.3

Multiplica $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.8.8.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 \cdot {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7

Combina los términos.

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Paso 4.9.7.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.7

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.8

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.9

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{8 x + 0 + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.10

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{8 x + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.11

Suma $8 x$ y $10 x$ .

$\frac{18 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.12

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

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Paso 4.9.7.12.1

Factoriza $2$ de $18 x$ .

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.7.12.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (9 x)}{2 ({(x^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.13

Multiplica $\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ por $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.14

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{2}$ por ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.9.7.15.1

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.7.15.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9.7.15.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$