Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} {(2 x - 1)}^{5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(2 x - 1)}^{5})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}] + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 1$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} \cdot 2) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + {(2 x - 1)}^{5} (3 x^{2})$

Paso 3.3.8

Mueve $3$ a la izquierda de ${(2 x - 1)}^{5}$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Factoriza $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ de $x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + 3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ de $x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4})$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + 3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ de $3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (3 (2 x - 1))$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ de $x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (3 (2 x - 1))$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10) + 3 (2 x - 1))$

Paso 3.4.2

Mueve $10$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$