Cálculo Ejemplos

$y = x^{2 \cot (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cot (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{2 \cot (x)}$ como $e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{2 \cot (x)})$ ; para ello, mueve $2 \cot (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cot (x) \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 \cot (x) \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 \cot (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 \cot (x) \ln (x)$ .

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cot (x) \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$ .

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)])$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ .

$2 \cdot e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Paso 3.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Paso 3.6

Combina $\cot (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Paso 3.7

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{\cot (x)}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 3.8.2

Combina los términos.

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Paso 3.8.2.1

Combina $\frac{\cot (x)}{x}$ y $2$ .

$\frac{\cot (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cot (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 3.8.2.2

Combina $\frac{\cot (x) \cdot 2}{x}$ y $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cot (x) \cdot 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 3.8.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 3.8.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \ln (x) \csc^{2} (x)$

Paso 3.8.3

Reordena los términos.

$- 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$