Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\tan (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reordena los factores de $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Paso 3.6.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Paso 3.6.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.6.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.6.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.6.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.6.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 3.6.6

Multiplica $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 3.6.7

Separa las fracciones.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.6.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Paso 3.6.9

Separa las fracciones.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Paso 3.6.10

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Paso 3.6.11

Divide $1^{2}$ por $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Paso 3.6.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Paso 3.6.13

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \csc (x) \sec (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$