Cálculo Ejemplos

$y = \tan (\cos (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reordena los factores de $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ .

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Paso 3.3.2

Reescribe $\sec (\cos (x))$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Paso 3.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Paso 3.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Paso 3.3.5

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Paso 3.3.6

Factoriza $\cos (\cos (x))$ de $\cos^{2} (\cos (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Paso 3.3.7

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Paso 3.3.8

Reescribe $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ como un producto.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Paso 3.3.9

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Paso 3.3.10

Simplifica.

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Paso 3.3.10.1

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Paso 3.3.10.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ a $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Paso 3.3.11

Convierte de $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ a $\sec (\cos (x))$ .

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Paso 3.3.12

Multiplica $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

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Paso 3.3.12.1

Eleva $\sec (\cos (x))$ a la potencia de $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Paso 3.3.12.2

Eleva $\sec (\cos (x))$ a la potencia de $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Paso 3.3.12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Paso 3.3.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$