Cálculo Ejemplos

$y = \ln (3 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 x}$ .

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 3.2.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$