Cálculo Ejemplos

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

Paso 3.5.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.4

Combina $5$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.5.4.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

Paso 3.5.4.6

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.4.7

Multiplica $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 3.5.4.7.1

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $- 5$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

Paso 3.5.4.7.2

Combina $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.4.7.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Paso 3.5.4.7.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Paso 3.5.4.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Paso 3.5.4.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.6

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.7

Factoriza $5$ de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Paso 3.5.8

Factoriza $5$ de $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Paso 3.5.9

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.5.10

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ y $\cos (x)$ .

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Paso 3.5.10.1

Factoriza $\cos (x)$ de $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

Paso 3.5.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.10.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Paso 3.5.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Paso 3.5.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

Paso 3.5.10.2.4

Divide $5 \cos (x)$ por $1$ .

$5 \cos (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 5 \cos (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$