Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (5 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (5 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

Combina $5$ y $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{5}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $\frac{5}{1 + 25 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{5}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Reordena los términos.

$\frac{5}{25 x^{2} + 1}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5}{25 x^{2} + 1}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{25 x^{2} + 1}$