Cálculo Ejemplos

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $19$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $19 z^{2}$ con respecto a $y$ es $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ .

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = z$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $z$ .

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z$ .

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [z]$ como $z'$ .

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $19$ .

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{5 z}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 1$ y $g (y) = z$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Paso 3.3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [z]$ como $z'$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $z$ por $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

Paso 3.3.7

Resta $z'$ de $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

Paso 3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

Paso 3.3.9

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{z'}{z^{2}}$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Paso 5

Resuelve $z'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 5 z^{2}, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$5 z^{2}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ por $5 z^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ por $5 z^{2}$ .

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $z$ por $z^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve $z^{2}$ .

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $z^{2}$ por $z$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $5$ por $38$ .

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.3

Cancela el factor común de $5 z^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{z'}{5 z^{2}}$ al numerador.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $5 z^{2}$ por $1$ .

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Factoriza $z'$ de $190 z^{3} z' - z'$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $z'$ de $190 z^{3} z'$ .

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $z'$ de $- z'$ .

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $z'$ de $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ .

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ por $190 z^{3} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ por $190 z^{3} - 1$ .

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $190 z^{3} - 1$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $z'$ por $1$ .

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$