Cálculo Ejemplos

$y = x y + y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$x y' + 3 y^{2} y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x y' + 3 y^{2} y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = y'$

Paso 5.2

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 3 y^{2} y' + y - y' = 0$

Paso 5.3

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $x y' + 3 y^{2} y' - y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) - y' = - y$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ por $x + 3 y^{2} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ por $x + 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x + 3 y^{2} - 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$