Cálculo Ejemplos

$z = (t - 1) (t + 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((t - 1) (t + 1))$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $t$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t - 1$ y $g (t) = t + 1$ .

$(t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(t - 1) (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(t - 1) \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $t - 1$ por $1$ .

$t - 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$t - 1 + (t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + 0)$

Paso 3.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$t - 1 + (t + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $t + 1$ por $1$ .

$t - 1 + t + 1$

Paso 3.2.8.3

Suma $t$ y $t$ .

$2 t - 1 + 1$

Paso 3.2.8.4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.8.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$2 t + 0$

Paso 3.2.8.4.2

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = 2 t$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = 2 t$