Cálculo Ejemplos

$z = (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y})$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $x$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x + 3 y$ y $g (x) = e^{4 x + 5 y}$ .

$(2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [e^{4 x + 5 y}] + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x + 5 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 5 y$ .

$(2 x + 3 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(2 x + 3 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 5 y$ .

$(2 x + 3 y) (e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.5

Como $5 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + 0) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} \cdot 4 + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$ .

$4 \cdot ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Paso 3.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 3.3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 3.3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 3.3.11

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + 0)$

Paso 3.3.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} \cdot 2$

Paso 3.3.12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{4 x + 5 y}$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + 2 \cdot e^{4 x + 5 y}$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 (2 x) + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$(8 x + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$(8 x + 12 y) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$