Cálculo Ejemplos

$z = \frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7})$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $x$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{y + 3.7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$ .

$\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1}$ por $\frac{1}{y + 3.7}$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3.4 x^{4} + 7.1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Paso 3.3.3

Como $3.4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3.4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7.1])$

Paso 3.3.5

Multiplica $4$ por $3.4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + \frac{d}{d x} [7.1])$

Paso 3.3.6

Como $7.1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7.1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + 0)$

Paso 3.3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.3.7.1

Suma $13.6 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3})$

Paso 3.3.7.2

Combina $13.6$ y $\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ .

$\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} x^{3}$

Paso 3.3.7.3

Combina $\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ y $x^{3}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Factoriza $0.1$ de $3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $0.1$ de $3.4 x^{4}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 7.1) (y + 3.7)}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $0.1$ de $7.1$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)) (y + 3.7)}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $0.1$ de $0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Paso 3.4.2

Factoriza $13.6$ de $13.6 x^{3}$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Paso 3.4.3

Factoriza $0.1$ de $0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 ((34 x^{4} + 71) (y + 3.7))}$

Paso 3.4.4

Separa las fracciones.

$\frac{13.6}{0.1} \cdot \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Paso 3.4.5

Divide $13.6$ por $0.1$ .

$136 \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Paso 3.4.6

Combina $136$ y $\frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$ .

$\frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$