Cálculo Ejemplos

$y = - e^{- x} + 7 \log_{3} (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- e^{- x} + 7 \log_{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- - e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 2.9

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \log_{3} (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]$ .

$e^{- x} + 7 \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\log_{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$e^{- x} + 7 \frac{1}{x \ln (3)}$

Paso 3.3

Combina $7$ y $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$e^{- x} + \frac{7}{x \ln (3)}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{7}{x \ln (3)} + e^{- x}$