Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.4

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.5

Aplica la regla del producto a $4 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 2.8

Combina $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ y $4$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 16 x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + 0)$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x + 0)$

Paso 3.7

Suma $32 x$ y $0$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x)$

Paso 3.8

Combina $32$ y $\frac{1}{16 x^{2} + 1}$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32}{16 x^{2} + 1} x$

Paso 3.9

Combina $\frac{32}{16 x^{2} + 1}$ y $x$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reordena los términos.

$\frac{4}{16 x^{2} + 1} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

Paso 4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + 32 x}{16 x^{2} + 1}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$\frac{32 x + 4}{16 x^{2} + 1}$

Paso 4.3

Factoriza $4$ de $32 x + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Factoriza $4$ de $32 x$ .

$\frac{4 (8 x) + 4}{16 x^{2} + 1}$

Paso 4.3.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (8 x) + 4 (1)}{16 x^{2} + 1}$

Paso 4.3.3

Factoriza $4$ de $4 (8 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (8 x + 1)}{16 x^{2} + 1}$