Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.2.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.2

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 4.3

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5}{x^{2}}$