Cálculo Ejemplos

$e^{4 x} + e^{- x}$

Paso 1

Escribe $e^{4 x} + e^{- x}$ como una función.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 2.1.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 2.1.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Paso 3.2

Mueve $- e^{- x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Reescribe $\ln (4 e^{4 x})$ como $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4.2

Expande $\ln (e^{4 x})$ ; para ello, mueve $4 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Paso 3.5

Expande el lado derecho.

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Paso 3.5.1

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Paso 3.6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Paso 3.6.2

Suma $4 x$ y $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Paso 3.7

Resta $\ln (4)$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - \ln (4)$

Paso 3.8

Divide cada término en $5 x = - \ln (4)$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.8.1

Divide cada término en $5 x = - \ln (4)$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Paso 3.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Paso 3.8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Paso 3.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.27725887$ en la expresión.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Paso 6.2.1.3

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Paso 6.3

Simplifica.

$- 3.56262674$

Paso 6.4

En $x = - 1.27725887$ la derivada es $- 3.56262674$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.72274112$ en la expresión.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $4$ por $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Paso 7.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Paso 7.3

Simplifica.

$71.55727104$

Paso 7.4

En $x = 0.72274112$ la derivada es $71.55727104$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Paso 9