Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \csc (x^{2})$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2

La derivada de $\csc (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc (u) \cot (u)$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

Paso 6.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Reescribe $\cot (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.2

Multiplica $- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Paso 6.4.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.2.2

Combina $x$ y $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.3

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.5

Reescribe $\csc (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.6

Multiplica $- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Paso 6.4.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ por $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.6.2

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.6.3

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.7

Combina $\sin (x)$ y $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.8

Mueve $8$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Paso 6.4.9

Reescribe $\csc (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.4.10

Multiplica $4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Paso 6.4.10.1

Combina $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ y $4$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

Paso 6.4.10.2

Combina $\frac{4}{\sin (x^{2})}$ y $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Factoriza $\sin (x^{2})$ de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.3

Reescribe $\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ como un producto.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.4

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.5

Simplifica.

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Paso 6.5.5.1

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ a $\csc (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.6

Separa las fracciones.

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.7

Convierte de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ a $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.8

Divide $8 x$ por $1$ .

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.9

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.10

Separa las fracciones.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Paso 6.5.11

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ como un producto.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Paso 6.5.12

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Paso 6.5.13

Simplifica.

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Paso 6.5.13.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Paso 6.5.13.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ a $\csc (x^{2})$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

Paso 6.5.14

Divide $4$ por $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$