Cálculo Ejemplos

$y = 25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$

Paso 1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ y $g (x) = x^{5} + 17$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 17] + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 17$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 3.3

Como $17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $17$ con respecto a $x$ es $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + 0) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 3.4

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4}) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4

Multiplica $x^{\frac{1}{5}}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{4}$ .

$25 (x^{4} x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 (x^{4 + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4.3

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4.4

Combina $4$ y $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$25 (x^{\frac{20 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 4.6.2

Suma $20$ y $1$ .

$25 (x^{\frac{21}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 5

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{\frac{21}{5}}$ .

$25 (5 \cdot x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Paso 10.2

Resta $5$ de $1$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Paso 12

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Paso 13

Mueve $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}}) + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3

Combina los términos.

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Paso 14.3.1

Multiplica $5$ por $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.2

Combina $x^{5}$ y $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5}}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.3

Mueve $x^{\frac{4}{5}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.4

Multiplica $x^{5}$ por $x^{- \frac{4}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.4.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.4.3

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.4.5.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{25 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.4.5.2

Resta $4$ de $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.5

Combina $25$ y $\frac{x^{\frac{21}{5}}}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.6

Factoriza $5$ de $25 x^{\frac{21}{5}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.7.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 (1)} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.7.2

Cancela el factor común.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.7.3

Reescribe la expresión.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 x^{\frac{21}{5}}}{1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.7.4

Divide $5 x^{\frac{21}{5}}$ por $1$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 14.3.8

Combina $17$ y $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 14.3.9

Combina $25$ y $\frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 \cdot 17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 14.3.10

Multiplica $25$ por $17$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{425}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 14.3.11

Factoriza $5$ de $425$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 14.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.12.1

Factoriza $5$ de $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Paso 14.3.12.2

Cancela el factor común.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 14.3.12.3

Reescribe la expresión.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 14.3.13

Suma $125 x^{\frac{21}{5}}$ y $5 x^{\frac{21}{5}}$ .

$130 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$