Cálculo Ejemplos

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arccos (x)$ y $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arccos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Paso 2

Reescribe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 4.2.2

Combina ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.2.3

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Paso 5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Paso 5.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Paso 5.4.3

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.4

Reescribe $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 5.4.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1 + x^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.4.3

Simplifica.

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Paso 5.4.4.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.4.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.4.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.5

Reescribe $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ como ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ .

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Paso 5.4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $x^{2}$ de $(x^{2} + 2) x^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Paso 5.4.5.2

Factoriza la potencia perfecta ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

Paso 5.4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

Paso 5.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Paso 5.4.7

Combina $\frac{x}{x^{2} + 1}$ y $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Paso 5.5

Combina ${(1 + x^{2})}^{2}$ y $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Paso 5.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.6.1

Cancela el factor común de ${(1 + x^{2})}^{2}$ y $x^{2} + 1$ .

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Paso 5.6.1.1

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Paso 5.6.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.1.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Paso 5.6.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Paso 5.6.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

Paso 5.6.1.3.4

Divide $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.6.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.6

Factoriza $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

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Paso 5.6.6.1

Factoriza $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.6.6.2

Factoriza $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

Paso 5.6.6.3

Factoriza $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Paso 5.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Paso 5.8

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.9.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 5.9.2

Mueve $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Paso 5.9.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Paso 5.9.4

Eleva $\sqrt{x^{2} + 2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Paso 5.9.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.9.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Paso 5.9.7

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ como $x^{2} + 2$ .

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Paso 5.9.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.9.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.9.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.9.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.9.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.9.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Paso 5.9.7.5

Simplifica.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$